Contoh soal dan pembahasan Program Linear Kelas XI SMA

       Pada kesempatan kali ini kami akan mencoba membahas contoh soal beserta cara menjawabnya dari materi Program Linear. Soal-soal di bawah ini bisa saja muncul pada ulangan harian, ulangan tengah semester atau bahkan ulangan akhir semester. materi program linear merupakan salah satu materi matematika yang di ajarkan di jenjang SMA, tepatnya di kelas XI pada mata pelajaran matematika wajib. berikut dibawah ini ada 5 contoh soal beserta pembahasanya, silahkan simak baik-baik:

        1. Agar dapat berproduksi dengan optimal, sebatang pohon apel harus diberi pupuk yang mengandung minimal 12 unit Zat N dan 12 unit Zat P. Di pasaran tersedia dua jenis pupuk untuk pohon apel yaitu pupuk A dan Pupuk B. Satu bungkus pupuk A mengandung 1 unit Zat N dan 3 Unit Zat P, sedangkan satu bungkus pupuk B mengandung 3 unit Zat N dan 1 unit Zat P. Harga per bungkus pupuk A adalah Rp2.500,00 dan harga perbungkus pupuk B adalah Rp3.000,00. Seorang Petani mempunyai 1.000 pohon apel, biaya minimal yang harus dikeluarkan dalam satu kali pemupukan agar pohon apelnya dapat berproduksi dengan optimal adalah …

PEMBAHASAN:

Agar mudah memahami soal di atas, kita cari tahu dulu apa saja yang diketahui pada soal tersebut.

Diketahui:

	Zat N	Zat P	Harga
Zat yang di perlukan	12	12
Pupuk A	1	3	2.500
Pupuk B	3	1	3.000

Jumlah pohon yang harus dipupuk adalah 1.000 pohon apel.

Setelah kita tau poin-poin penting di dalam soal tersebut kita cari apa yang ditanyakan.

Ditanyakan: Biaya minimal yang harus dikeluarkan petani untuk satu kali pemupukan?

Langkah 1: Dimisalkan Pupuk A=x, dan Pupuk B=y

Langkah 2: Tentukan Fungsi objektif. Karena yang ditanyakan adalah biaya, berarti fungsi objektif pasti berkaitan dengan harga. Sehingga fungsi objektif meminimumkan Z=2500x+3000y

Langkah 3: Cari kendala-kendala atau model matematika dari soal tersebut. Dari yang diketahui pada soal tersbut kendala-kendalanya sebagai berikut.

·         x+3y≥12

·         3x+y≥12

·         x,y≥0

·         x,y€C

Langkah 4: Cari daerah penyelesaian dari kendala-kendala di atas. Daerah penyelesaiannya sebagai berikut.

Untuk garis x+3y≥12

X	12	0
Y	0	4

Jika y=0

x+3y≥12

x+3(0) ≥12

x≥12

jika x=0

x+3y≥12

0+3y≥12

3y≥12

y≥4

maka untuk garis pada pertidaksamaan ini akan memotong titik (12,0) dan (0,4). Untuk daerah penyelesaian dari garis ini setelah diselidiki di titik (0,0) daerah penyelesaiannya adalah sebelah atas.

Untuk garis 3x+y≥12

X	4	0
Y	0	12

Jika y=0

3x+y≥12

3x+0≥12

3x≥12

x≥4

Jika x=0

3x+y≥12

3(0)+y≥12

y≥12

maka untuk garis pada pertidaksamaan ini akan memotong titik (4,0) dan (0,12). Untuk daerah penyelesaian dari garis ini setelah diselidiki di titik (0,0) daerah penyelesaiannya adalah sebelah atas.

Dari hasil perhitungan di atas maka bisa kita dapatkan gambar daerah penyelesaian sebagai berikut.

Langkah 5: Setelah menemukan daerah penyelesaian, kita tentukan setiap titik sudut pada daerah penyelesaian tersebut seperti pada gambar. Dari gambar tersebut kita tentukan titik A (12,0), titik B (3,3) dan titik C (0,12). Untuk titik A dan titik C bisa kita langsung tentukan, dan untuk titik B kita tentukan titik potong antara dua garis dengan eliminasi. Berikut cara pengerjaanya:

x+3y≥12	X	3	3x+9y≥12
3x+y≥12	X	1	3x+y≥12	_
			8y≥24
			y≥3

Setelah didapatkan bahwa y=3, selanjutnya kita cari nilai x. untuk mencari nilai x, kita gunakan metode subtitusi. Kita subtitusikan nilai y=3 ke salah satu pertidak samaan garis di atas.

x+3y≥12

x+3(3) ≥12

x+9≥12

x≥12-9

x≥3

Dari hasil perhitungan tersebut kita dapatkan titik B pada (3,3)

Langkah 6: Mencari nilai minimal dengan fungsi objektif Z=2500x+3000y

Sehingga bisa kita dapatkan

	A	B	C
X	12	3	0
Y	0	3	12
Z	30000	16500	36000

Titik A

Z=2500x+3000y

Z=2500(12)+3000(0)

Z=30000

Titik B

Z=2500x+3000y

Z=2500(3)+3000(3)

Z=7500+9000

Z=16500

Titik C

Z=2500x+3000y

Z=2500(0)+3000(12)

Z=36000

Sehingga dari tabel tersebut bisa kita lihat nilai minimumnya adalah 16500 untuk satu pohon apel. Dan yang diketahui di soal ada 1000 pohon apel, sehingga 16500x1000=16500000.

Sehingga biaya minimal yang harus dikeluarkan oleh petani adalah Rp16.500.000,00

2. Diketahui luas lahan parker 360 . Untuk sebuah mobil dan sebuah bus, berturut-turut membutuhkan lahan 6  dan 24 . Daerah parker itu tidak dapat memuat lebih dari 30 kendaraan. Tentukan jumlah maksimum yang diterima tukang parkir jika biaya parker untuk sebuah mobil Rp1.500,00 dan Sebuah Bus Rp3.000,00.

PEMBAHASAN

Terlebih dahulu kita terjemahkan permasalahan pada soal di atas kedalam model matematika, agar lebih mudah kita gunakan tabel seperti di bawah ini.

	Mobil (x)	Bus (y)	Persediaan
Luas lahan	6	24	360
Daya Tampung	1	1	30
Biaya Parkir	1500	3000

Kita misalkan banyaknya mobil adalah x, dan banyak bus adalah y. Dari tabel di atas dapat dibuat model matematika seperti berikut.

Fungsi objektif memaksimumkan Z=1500x+3000y

Kendala:

·         6x+24y≤360 (atau bisa di sederhanakan) x+4y≤60

·         x+y≤60

·         x,y≥0

·         x,y€C

Selanjutnya kita tentukan titik potong garis x+4y=60 dan x+y=30 dengan sumbu koordinat Cartesius, seperti terlihat pada tabel di bawah ini.

Kita buat daerah himpunan penyelesaian kendala-kendala dalam bidang Cartesius.

Kita tentukan titik potong antara dua garis dengan eliminasi.

Dengan menyubsitusikan y=10 ke salah satu persamaan, diperoleh x=20. Sehingga titik potong kedua garis tersebut adalah (20,10).

Dari gambar di atas, terlihat daerah penyelesaian mempunyai empat titik sudut, yaitu O (0,0), A (30,0), B (20,10), dan C (0,15). Selanjutnya kita selidiki nilai objektif  Z=1500x+3000y untuk mashing-masing titik sudut. Perhatikan tabel di bawah ini:

Dari tabel di atas terlihat bahwa nilai maksimumnya adalah 60000, yaitu x=20 dan y= 10.

Jadi, tukang parker itu akan memperoleh penghasilan maksimum, yaitu Rp60.000,00 jika ia dapat menerima mobil sebanyak 20 buah dan bus sebanyak 10 buah.

3. Dengan modal Rp450.000,00, Pak Jeri membeli papaya seharga Rp1.000,00 dan jeruk seharga Rp3.500,00 per kilogram. Buah-buahan ini dijual kembali dengan menggunakan gerobak yang dapat memuat maksimum 300 kg. Jika keuntungan dari penjualan papaya Rp500,00 per kilogram dan dari penjualan jeruk Rp1.000,00 perkilogram, tentukanlah keuntungan maksimum yang diperoleh Pak Jeri!

Setelah membaca soal tersebut, mari kita jabarkan hal-hal penting yang ada pada soal.

Diketahui:

Modal Rp450.000,00

	Harga Beli	Keuntungan
Pepaya	1.000	500
Jeruk	3.500	1.000

Kapasitas gerobak 30 Kg.

Ditanyakan:

Keuntungan maksimal Pak Jeri?

PEMBAHASAN

Misalkan berat papaya adalah x dan berat jeruk adalah y, dari soal tersebut bisa kita tentukan bahwa fungsi objektif memaksimumkan Z =500x+1000y (dari keuntungan)

Kendala:

·         1000x+3500y≤450000 (Harga dan modal)

·         x+y≤300 (Kapasitas gerobak)

·         x≥0 (Berat papaya pasti bernilai positif)

·         y≥0 (Berat jeruk pasti bernilai positif)

·         x,y€R

Selanjutnya kita tentukan titik potong garis 1000x+3500y≤450000 dan x+y≤300.

Untuk 1000x+3500y≤450000 (atau bisa disederhanakan menjadi) 2x+7y≤900

X	0	450
Y	128,5	0

Untuk x+y≤300

X	0	300
Y	300	0

Untuk langkah selanjutnya, kita tentukan titik potong antara garis 2x+7y≤900 dan x+y≤300. Kita tentukan titik potong dua garis tersebut dengan eliminasi.

2x+7y=900	x	1	2x+7y=900
x+y=300	x	2	2x+2y=600	_
			5y=300
			y=60

Untuk mencari nilai x, kita gunakan metode subtitusi dengan cara menyubtitusikan nilai y=60 ke salah satu persamaan. Sehingga nilai x=240.

Selanjutnya kita selidiki setiap titik sudut dari himpunan penyelesaian.

Z =500x+1000y

	O	A	B	C
X	0	300	240	0
Y	0	0	60	128,5
Z	0	150.000	180.000	128.500

Dari tabel di atas terlihat bahwa nilai maksimumnya adalah =180.000. sehingga keuntungan maksimal Pak Jeri adalah Rp180.000,00.

4. Suatu perusahaan transfortasi harus mendistribusikan 1200 paket (yang besarnya sama) melalui dua truk pengangkut. Truk 1 memuat 200 paket untuk setiap pengangkutan dan truk 2 memuat 80 paket untuk setiap pengangkutan. Biaya pengangkutan untuk truk 1 dan truk 2 masing-masing Rp400.000,00 dan Rp200.000,00 padahal biaya yang tersedia untuk mengangkut 1200 paket hanya Rp3.000.000,00. Hitunglah biaya minimal biaya pengangkutan tersebut.

Seperti pada soal sebelum-sebelumnya, pertama kita jabarkan dulu soal di atas.

Diketahui:

Paket yang harus didistribusikan sebanyak 1200 paket

	Kapasitas	Biaya
Truk 1	200	400000
Truk 2	80	200000

 Biaya yang tersedia Rp3.000.000,00

Ditanyakan:

Biaya minimal pengangkutan paket tersebut?

Untuk membuat model matematika kita misalkan Pemberangkatan Truk 1 sebagai x dan pemberangkatan Truk 2 sebagai y. Sehingga Fungsi Objektif meminimumkan Z=400000x+200000y (Dari biaya setiap pemberangkatan)

Kendala:

·         200x+80y≥1200 (dari kapasitas dan paket yang harus dikirim)

·         400000x+200000y≤3000000 (dari biaya dan modal)

·         x,y≥0 (Truk yang berangkat pasti bernilai positif)

·         x,y€C (Tidak ada truk yang setengah jalan)

Langkah selanjutnya kita tentukan titik potong garis 200x+80y≥1200 dan 400000x+200000y≤3000000. Sehingga titik potongnya adalah

Untuk 200x+80≥1200 (Bisa disederhanakan menjadi) 5x+2y≥30 sehingga titik potongnya seperti pada tabel di bawah

X	6	0
Y	0	15

Untuk garis 400000x+200000y≤3000000 (bisa disederhanakan menjadi) 2x+y≤15 sehingga titik potongnya seperti pada tabel di bawah

X	7,5	0
Y	0	15

Karena pada model matematika yang sudah kita buat x dan y nya bilangan cacah, maka x pada tabel kedua yang asalnya 7,5 maka kita bulatkan ke bawah sehingga x=7. Berikut gambar pada bidang Cartesiusnya.

Menurut gambar di atas, kita bisa mencari nilai optimum seperti pada tabel di bawah dengan fungsi objektif Z=400000x+200000y.

	A	B	C
X	6	7	0
Y	0	0	15
Z	2400000	2800000	3000000

Dari tabel di atas nilai minimumnya adalah 2.400.000. Sehingga biaya minimal dari pengangkutan paket tersebut adalah Rp2.4000.000,00.

5. Perusahaan tas dan sepatu mendapat pasokan 8 unsur P dan 12 unsur K setiap minggu untuk produksinya. Setiap tas memerlukan 1 unsur P dan 2 unsur K, sedangkan setiap sepatu memerlukan 2 unsur P dan 2 unsur K. Laba setiap tas adalah Rp18.000,00 dan setiap sepatu adalah Rp12.000,00. Keuntungan maksimum perusahaan yang diperoleh adalah… (Soal ini merupakan salah satu soal matematika pada ujian nasional di tahun 2007)

Seperti biasa agar memudahkan kita dalam menjawabnya, kita jabarkan terlebih dahulu hal-hal yang penting pada soal tersebut.

Diketahui:

	Unsur P	Unsur K	Keuntungan
Pasokan	8	12
Tas (x)	1	2	18.000
Sepatu (y)	2	2	12.000

Ditanyakan:

Keuntungan maksimal yang diperoleh perusahaan tersebut?

Fungsi objektif memaksimumkan:

Z =18000x+12000y (dari keuntungan)

Kendala:

x+2y≤8 (Dari unsur P)

2x+2y≤12 (Dari unsur K)

x,y≥0 (Produksi tas dan sepatu pasti berjumlah non negative)

x,y€C

Gambar daerah penyelesaian dari kendala-kendala di atas:

Untuk x+2y≤8

x	8	0
Y	0	4

Daerah penyelesaian sebelah bawah garis.

Untuk 2x+2y≤12

x	6	0
Y	0	6

Daerah penyelesaian sebelah bawah garis.

Gambar daerah penyelesaian adalah yang di arsir pada gambar di bawah:

Selanjutnya kita selidiki setiap titik sudut dari daerah penyelesaian tersebut, seperti pada tabel di bawah ini:

Z=18000x+12000y

	O	A	B	C
X	0	6	4	0
Y	0	0	2	4
Z	0	108.000	96.000	48.000

Sehingga keuntungan maksimal perusahaan Tas dan Sepatu tersebut adalah Rp108.000,00.

Sekian 5 soal dan pembahasan dari materi program linear. Terimaksaih telah berkunjung, jika ada yang kurang jelas silahkan tinggalkan komentar di bawah.

Tweet