Contoh soal dan pembahasan model matematika (program linear, matematika kelas XI)

Dalam artikel kali ini, saya akan membahas tentang model matematika, yang merupakan sub judul dari BAB Program Linear yang di pelajari pada mata pelajaran matematika kelas XI. Pada artikel ini aka nada lima contoh soal dengan beragam masalah dan cara penyelesaiannya tentang model matematika. Model matematika adalah suatu cara sederhana untuk menerjemahkan suatu masalah ke dalam Bahasa matematika dengan menggunakan persamaan, pertidaksamaan atau fungsi. Berikut di bawah ini kita sajikan 5 permasalah dan pembahasan tentang model matematika.

1. Linda membeli 3 kue A dan 2 Kue B di supermarket. Oleh karena itu Linda harus membayar Rp3.400,00, Sedangkan Wati membeli 2 kue A dan 3 Kue B sehingga ia harus membayar Rp3.100,00. Jika harga sebuah Kue A dan Kue B masing-masing x rupiah dan y rupiah, buatlah model matematika dari masalah tersebut.

Jawab:

Perhatikan dengan seksama soal tersebut di atas. Misalkan harga sebuah Kue A adalah x dan harga sebuah Kue B adalah y.

Agar lebih mudah memahami perhatikan tabel di bawah!

Nama	KueA	KueB	Harga
Linda	3	2	3.400
Wati	2	3	3.100

Perhatikan kue dan jumlah uang Linda. Berdasarka tabel tersebut maka model matematikanya 3x+2y=3.400 (Berdasarkan kue yang Linda beli dan Jumlah uang yang Linda bayar). Sekarang perhatikan kue yang wati beli dan jumlah uang yang di bayarkannya. Berdasarkan tabel di atas maka model matematikanya 2x+3y=3.100 (Berdasarkan Kue yang wati beli dan Jumlah uang yang wati bayar. Karena x dan ya menunjukan harga barang maka nilai x dan y harus berupa bilangan real-non negative sehingga x≥0; y≥0; x,y€R. Jadi, model matematika dari permasalahan no 1 di atas adalah

3x+2y=3.400

2x+3y=3.100

x≥0; y≥0;

x,y€R.

2. Misalkan seorang pedagang sepatu memiliki modal Rp8.000.000,00. Dia merencanakan akan membeli 2 jenis sepatu, yaitu sepatu jenis I dan sepatu jenis II. Harga beli sepatu jenis I Rp20.000,00 per pasang dan sepatu jenis II Rp16.000,00 per pasang. Keuntungan dari penjualan sepatu jenis I dan jenis II berturut-turut adalah Rp9.000,00 dan Rp8.500,00 per pasang. Mengingat Kiosnya ia akan membeli maksimal 450 pasang sepatu saja. Bagaimana model matematika program linear dari kasus ini?

Jawab:

Perhatikan dengan teliti soal di atas. Dari soal tersebut berikut hal-hal penting yang diketahui.

Diketahui:

Modal = Rp8.000.000,00

Kapasitas maksimal kios = 450 pasang sepatu

	Harga Beli	Keuntungan
Sepatu jenis I	20.000/pasang	9.000
Sepatu Jenis II	16.000/pasang	8.500

Dari data di atas kita misalkan banyak sepatu jenis I adalah x dan banyak sepatu jenis II adalah y, sehingga bisa kita tentukan:

Fungsi objektif z=9000x+8500y (Dari keuntungan sepatu jenis I dan sepatu jenis II)

20000x+16000y≤8000000 (dari harga beli sepatu dan modal yang tersedia; karena modal yang tersedianya 8.000.000 maka total belanjanya tidak boleh lebih dari 8.000.000 tap boleh kurang atau pas, maka tandanya “≤’)

Kapasitas kios 450 pasang. Maka model matematikanya adalah x+y≤450 artinya banyak sepatu jenis I di tambah banyak sepatu jenis II tidak lebih dari 450 pasang.

Karena x dan y menunjukan jumlah barang maka nilai x dan y harus berupa bilangan cacah non-negatif, sehingga x≥0; y≥0; x,y€C.

Jadi, model matematika dari permasalahan contoh soal no. 2 di atas adalah:

Fungsi objektif: z=9000x+8500y

20000x+16000y≤8000000

x+y≤450

x≥0; y≥0;

x,y€C

3. PT Lasin adalah suatu pengembang perumahan di daerah pemukiman baru. PT tersebut memiliki tanah seluas 12.000 meter persegi berencana akan membangun dua tipe rumah, yaitu tipe mawar dengan seluas 130 meter persegi dan tipe melita dengan luas 90 meter persegi. Jumlah rumah yang akan dibangun tidak lebih 150 unit. Pengembang merancang laba tiap-tiap tipe rumah Rp2.000.000,00 dan Rp1.500.000,00. Modelkan permasalahan di atas!

Jawab.

Diketahui:

Luas tanah 12.000 meter persegi

Jumlah rumah yang akan dibangun tidak lebih dari 150 unit.

 

	Luas	Laba
Tipe mawar	130	2.000.000
Tipe melati	90	1.500.000

Misalkan banyak rumah tipe mawar adalah x dan banyak rumah tiper melati adalah y.

Sehingga:

Fungsi objektif z=2000000x+1500000y (dari laba untuk masing-masing tipe rumah);

Kendala: 130x+90y≤12000 (dari luas tanah yang tersedia dan luas tanah untuk masing-masing tipe rumah);

x+y≤150 (Jumlah rumah yang akan dibangun tidak lebih dari 150 unit);

Karena x dan y menunjukan jumlah unit rumah maka nilai x dan y harus merupakan bilangan Cacah non-negatif, sehingga x≥0; y≥0; x,y€C.

Jadi model matematika dari permasalahan no 3 di atas adalah

Fungsi objektif:  z=2000000x+1500000y

Kendala:

130x+90y≤12000;

x+y≤150;

x,y≥0;

x,y€C;

4. Umar bakrie adalah pedagang roti. Ia menjual roti menggunakan grobak yang hanya dapat memuat 600 roti. Roti yang dijualnya adalah roti manis dan roti tawar dengan harga masing-masing Rp5.500,00 dan Rp4.500,00 per bungkusnya. Dari penjualan roti-roti ini ia memperoleh keuntungan Rp500,00 dari sebungkus roti manis dan Rp600,00 dari sebungkus roti tawar. Jika modal yang dimiliki Umar bakrie Rp600.000,00, buatlah model mateatika dengan tujuan untuk memperoleh keuntungan dengan sebesar-besarnya!

Jawab.

Diketahui:

Kapasitas roda 600 roti;

Modal Rp600.000,00;

	Roti Manis	Roti Tawar
Harga	5.500	4.500
Keuntungan	500	600

Penjelasan:

Misalkan banyak roti manis adalah x dan banyaknya roti tawar adalah y.

Funsi objektif memaksimumkan: z= 500 x ₊ 600 y ( dari keuntungan kendala )

5.500 x + 4.500 y ≤ 600.000 ( dari harga dan modal yang tersedia)

x+y≤600 ( kapasitas roda)

Karena x dan y menunjukan jumlah roti manis dan roti tawar maka nilai x dan y harus merupakan bilangan cacah n0n- negative, sehingga x≥0 ; y≥0 ; x,y € C.

Jadi model matematika dari permasalahan no. 4 di atas adalah:

Fungsi objektif memaksimumkan z = 500 x + 600 y

Kendala :

5.500 x + 4.500 y ≤ 600.000

x+y ≤ 600

x≥0

x≥0

x,y € C

5. Anak usia balita di anjurkan dokter untuk mengkonsumsi kalsium dan zat besi sedikitnya 60 gr dan 30 gr. Sebuah kapsul mengandung 5 gr kalsium dan 2 gr zat besi, sedangkan sebuah tablet mengandung 2 gr kalsium dan 2gr zat besi. Harga sebuah kapsul adalah Rp1.000,00 dan harga sebuah tablet Rp800,00, buatlah model matematika dengan tujuan untuk mencari biaya minimum untuk memenuhi kebutuhan balita tersebut.

Jawab.

Diketahui:

	Kalsium	Zat Besi	Harga
Kebutuhan Balita	60 gr	30 gr
Kapsul	5 gr	2 gr	Rp1.000
Tablet	2 gr	2 gr	Rp800

Aamati dengan teliti tabel di atas, maka:

Penjelasan:

Misalkan banyak kapsul adalah x dan banyak tablet adalah y, sehingga:

Fungsi objektif meminimumkan: z=1000x+800y (diambil dari masing-masing harga kapsul dan tablet)

Kendala:

·         5x+2y≥60 (Diambil dari kandungan kalsium pada tablet dan kapsul, serta kalsium yang dibutuhkan)

·         2x+2y≥30 (Diambil dari kandungan zat besi pada tablet dan kapsul, serta zat besi yang dibutuhkan)

·         x≥0; y≥0; x,y€C (x dan y menunjukan banyaknya kapsul dan banyaknya tablet, sehingga x dan y harus merupakan bilangan cacah non negative)

Jadi model matematika untuk masalah no. 5 di atas adalah:

Fungsi objektif meminimumkan z=1000x+800y

Kendala:

5x+2y≥60

2x+2y≥30

x,y≥0

x,y€C

Sekian artikel Contoh soal dan pembahasan model matematika (program linear, matematika kelas XI), semoga bermanfaat.

Tweet