Cara mencari daerah penyelesaian Sitem pertidaksamaan linear dua variabel

Pada artikel kali ini kami akan membahas bagaimana cara mencari daerah penyelesaian atau himpunan penyelesaian pada materi Sitem pertidaksamaan linear dua variabel. Program Linear merupakan salah satu materi matematika wajib yang di ajarkan pada kelas XI SMA. Menentukan daerah penyelesaian merupakan dasar dari materi program linear ini, oleh sebab itu kami pada artikel ini khusus akan membahas cara bagaimana menentukan daerah penyelesaian, berikut dengan contoh soal beserta cara menjawabnya. Silahkan simak baik-baik contoh soal dan pembahasan di bawah ini.

1. Gambarlah daerah penyelsesaian dari system pertidaksamaan linear berikut ini

·         x-5y≥10

·         x≥5

·         x,y€R

Dari soal diatas kita bisa tahu bahwa ada dua garis yang akan kita gambar di koordinat cartesius, garis yang pertama adalah x-5y=10 dan garis yang kedua adalah x=5.

Pertama kita gambar dulu gari x-5y=10, kita cari masing-masing nilai x jika y=0 dan nilai y jika x=0.

Untuk mencari nilai x, jika y=0 maka:

x-5y=10

x-5(0)=10      (y diganti dengan nol)

x-0=10           (5 dikalikan no)

x=10               (x dikurangkan nol, sisa x)

Sehingga nilai x jika y=0 adalah 10.

Selanjutnya kita cari nilai y jika x=0

x-5y=10

0-5y=10         (x diganti dengan nol)

-5y=10            (nol dikurangkan 5y, sisa -5y)

y=10/-5          (kedua ruas dibagi -5)

y=-2                (10 dibagi -5, hasilnya -2)

sehingga nilai y jika x=0 adalah -2.

Perhatikan tabel di bawah ini!

X	10	0
Y	0	-2

Sehingga garis x-5y=10 akan memotong titik (10,0) dan (0,-2) pada koordinat Cartesius. Berikut gambarnya di bawah ini.

Selanjutnya kita cari daerah penyelesaian dari system pertidaksamaan x-5y≥10, caranya kita selidiki di titik (0,0) atau x=0 dan y=0, shingga

x-5y≥10

0-5(0)≥10      (x dan y diganti dengan nol)

0≥10               (Pernyataan salah)

Karena 0≥10 merupakan pernyataan yang salah, maka titik (0,0) bukan merupakan daerah penyelesaian. Karena titik (0,0) ada di sebelah atas maka daerah penyelesaiannya adalah sebelah bawah garis. Agar lebih jelas perhatikan gambar di bawah ini!

Untuk garis kedua yaitu garis x=5, langkah pertama kita cari titik x=5 lalu gambar vertical (sejajar dengan sumbu y) yang memotong titik x=5. Perhatikan gambar di bawah ini!

Selanjutnya untuk daerah penyelesaian karena ada tanda (≥) berarti daerah penyelesaian ada di sebelah kanan garis tersebut. Seperti pada gambar di bawah ini.

Maka daerah penyelesaian untuk soal no 1, yaitu daerah yang memenuhi kedua system pertidaksamaan x-5y≥10 dan x≥5. Maka daerah penyelesaiannya adalah daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini.

2. gambarlah daerah penyelesaian system pertidaksamaan berikut pada bidang Cartesius.

·         3x + y ≥ 9

·         5x + 4y ≤20

·         X ≥ 0

·         Y ≥ 0

·         X, y € R

Dari soal tersebut kita dapat melihat bahwa ada 4 garis yang dapat kita buat, yaitu garis 3x + y =9 , garis 5x + 4y =20 , garis X = 0, garis Y = 0,

Seperti pada soal yang telah di bahas sebelumnya kita akan mencari garis dan daerah penyelesaianya satu per Satu. Yang pertama kita akan mencari garis 3x + y =9, kita tentukan dulu titik potong di x jika y = 0, dan titik potong di y jika x = 0,

Ø  untuk menentukan titik potong di x jika y = 0 maka :

3x + y = 9

3x + 0 = 9                  ( y diganti dengan n0l)

       3x = 9

        X =9/3             ( kedua ruas dibagi 3)

         X = 3                  ( 9 dibagi 3 hasilnya 3)

Ø  untuk menentukan titik potong di y jika x = 0 maka :

3x + y = 9

3(0) + y = 9               ( x diganti dengan n0l)

    0 +  y  = 9                        

            Y  = 9

             Y =  9                           

Perhatikan tabel dibawah ini

x	3	0
y	0	9

Sehingga garis 3x + y = 9 akan memotong titik (3,0) disumbu x dan (0,9) di sumbu y seperti pada gambar di bawah ini.

Untuk daerah penyelesaian kita selidiki di titik (0,0) atau x =0 dan y = 0

3x + y ≥ 9

3(0) + 0 ≥ 9       ( x dan y diganti dengan nol)

             0 ≥ 9       ( pernyataan salah )

Karena 0≥ 9 merupakan pernyataan yang salah maka titik (0,0) bukan bagian dari daerah penyelesaian karena titik (0,0) berada di sebelah bawah garis, maka daerah penyelesaiannya berada disebelah atas garis seperti pada gambar di bawah ini.

selanjutnya kita cari garis yang kedua  yaitu garis 5x + 4y =20

sama seperti cara sebelumnya, pertama -tama kita tentuka titik potong di sumbu x dan titik potong disumbu y,

nilai x jika y = 0 dan nilai y jika x =0

untuk nilai x jika y = o maka :

5x +4y =20

5x +4(0)=20

5x+0= 20

5x=20  

x=20/5

x= 4

untuk nilai y jika x = o maka :

5x+4y=20

5(0)+4=20

0+4y=20

4y= 20

y=4/20

y=5

perhatika tabel dibawah ini

x	4	0
y	0	5

 Sehingga garis tersebut akan memeotong di titik ( 4,0) dan (0,5) persis seperti gambar di bawah ini.

Untuk mencari daerah penyelesaian kita gunakan cara sebelumnya, yaitu dengan cara menyelidiki di titi (0,0) sehingga.

5x + 4y ≤20

5(0) + 4 (0) ≤20   ( x dan y diganti dengan nol)

     0 + 0 ≤20          (pernyataan benar)

Karena 0 ≤20  merupakan pernyataan yang benar maka titik (0,0) adalah bagian dari daerah penyelesaian, karena titik (0,0) ada dibawah garis maka daerah penyelesaiannya ada di bawah garis tersebut. Persis seperti gambar dibawah ini.

Untuk garis ketiga yaitu garis x = 0, untuk garis ini berhimpit dengan sumbu y, seperti pada gambar dibawah ini.

Karena tandanya (≥) maka daerah penyelesaiainya ada di sebelah kanan garis  , perhatikan gambar berikut.

garis ke-4 yaitu garis y=0 untuk garis ini berhimpit dengan sumbu x

Karena tandanya (≥) maka daerah penyelesaiannya ada di sebelah atas garis, perhatikan gambar berikut.

Maka untuk daerah penyelesaian pada soal no 2 adalah daerah yang memenuhi semua persamaan dari 4 garis tersebut. Maka gambar daerah penyelesaiannya adalah daerah yang diarsir pada gambar dibawah ini.

3. Tentukan daerah penyelesaian dari pertidaksamaan dengan x+y≤3, x-3y-3≤0, dan x≥0.

Setelah memperhatikan soalnya maka kita akan tahu bahwa garis yang harus kita buat adalah 3 garis yaitu garis x+y=3, x-3y-3=0 dan garis ketiga yaitu x=0.

Untuk garis pertama yaitu garis x+y=3dengan menggunakan langkah seperti pada contoh sebelumnya maka nilai x,jika y=0

X+y=3

X+0=3

X=3

Nilai y jika x=0

X+y=3

0+y=3

Y=3

Sehingga

X	3	0
Y	0	3

Garis pertama akan memotong titik (3,0) dan (0,3) seperti pada gambar dibawah.

Untuk daerah penyelesaian seperti biasa kita selidiki di titik (0,0) Seperti cara di bawah ini

X+y≤3

0+0≤3

0≤3                 (Pernyataan benar)

Karena 0≤3 merupakan pernyataan yang benar, maka titik (0,0) merupakan bagian dari daerah penyelesaian . Sehingga daerah penyelesaian dari garis tersebut, merupakan sebelah bawah garis tersebut. Seperti pada gambar dibawah ini.

Untuk garis kedua yaitu garis x-3y-3=0. Jika kita menemukan persamaan seperti ini, kita sederhanakan dulu persamaanya. Perhatikan cara menyederhanakan di bawah ini:

x-3y-3=0

x-3y=3            (Kedua ruas ditambah 3)

sehingga garis yang akan kita cari adalah garis x-3y=3.

Untuk nilai x jika y=0

x-3y=3

x-3(0)=3

x=3

untuk nilai y jika x=0

x-3y=3

0-3y=3

-3y=3

Y=3/-3

Y=-1

Sehingga

X	3	0
Y	0	-1

Garis tersebut akan memotong titik (3,0) dan (0,-1) seperti pada gambar dibawah.

Untuk daerah penyelesaian kita selidiki lagi di titik (0,0)

x-3y≤3

0-3(0)≤3

0≤3                 (Pernyataan benar)

Karena 0≤3 merupakan pernyataan yang benar maka titik (0,0) merupakan bagian dari daerah penyelesaian sehingga daerah penyelesaian adalah sebelah atas dari garis tersebut.

Untuk garis ketiga yaitu garis x=0. Garis x=0 akan berhimpit dengan sumbu y seperti pada gambar dibawah.

Untuk daerah penyelesaian karena ada tanda ≥ maka daerah penyelesaian ada di sebelah kanan. Perses seperti gamabr di bawah ini.

Setiap daerah penyelesaian dari ketiga garis di atas sudah kita ketahui, selanjutnya untuk daerah penyelesaian contoh soal no 3 ini harus memenuhi syarat dari ketiga garis tersebut. Maka daerah penyelesaian dari soal no 3 ini adalah daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini.

4. Perhatikan grafik di bawah ini.

Nyataka pertidaksamaan yang menyatakan daerah penyelesaian (diarsir).

Setelah memperhatikan gambar diatas kita bisa tahu bahwa ada 4 garis yang harus kita cari setiap pertidaksamaannya.

Garis 1.

Garis tersebut memotong titik (5,0) di x dan (0,5) di y. sehingga

5x+5y=(5)(5)

5x+5y=25

x+y=5             (Setelah diederhanakan)

Daerah penyelesaiannya ada di sebelah bawah garis dan memuat titik (0,0), sehingga jika kita selidiki di titik (0,0) hasilnya harus merupakan pernyataan benar.

x+y≤5

0+0≤5

0≤5                 (Pernyataan benar)

Maka pertidaksamaan garis 1 adalah x+y≤5

Garis 2.

Garis tersebut memotong titik (-5,0) di x dan (0,5) di y. Sehingga

5x-5y=(5)(-5)

5x-5y=-25

x-y=-5 (Setelah disederhanakan)

Daerah penyelesaian ada di sebelah bawah garis dan memuat titik (0,0), sehingga jika kita selidiki di titik (0,0) hasilnya harus merupakan pernyataan benar.

x-y≥-5

0-0≥-5

0≥-5                (Pernyataan Benar)

Maka pertidaksamaan garis 2 adalah x-y≥-5

Garis 3.

Garis tersebut memotong titik (-5,0) di x dan (0,-5) di y. sehingga

-5x-5y=(-5)(-5)

-5x-5y=25

-x-y=5             (Setelah disederhanakan)

Daerah penyelesaian ada di sebelah atas dan memuat titik (0,0) sehingga

-x-y≤5

-(0)-0≤5

0≤5                 (Pernyataan benar)

Maka pertidaksamaan garis 3 adalah -x-y≤5

Garis 4.

Garis tersebut memotong titik (5,0) di x dan (0,-5) di y, sehingga

-5x+5y=(-5)(5)

-5x+5y=-25

-x+y=-5

Daerah penyelesaiannya memuat titik (0,0) Sehingga

-x+y≥-5

-(0)-0≥-5

0≥-5                (Pernyataan benar)

Maka pertidaksamaan garis 4 adalah -x+y≥-5

Jawaban dari soal no 4

·         x+y≤5

·         x-y≥-5

·         -x-y≤5

-x-y≥-5

5. Perhatikan gambar grafik di bawah ini.

Nyatakan pertidaksamaan yang memenuhi daerah yang diarsir.

Setelah memperhatikan soal tersebut kita bisa lihat bahwa hanya ada dua garis yang harus kita cari pertidaksamaannya.

Garis 1

Garis tersebut hanya memotong sumbu x di titik x=2 dan daerah penyelesaiannya ada di sebelah kanan maka pertidak samaan garis 1 adalah x≥2

Garis 2.

Garis terseut memotong titik (3,0) di x dan (0,6) di y, sehingga

6x+3y=(6)(3)

6x+3y=18

2x+y=6                       (Setelah disederhanakan)

Daerah penyelesaian memuat titik (0,0) maka

2x+y≤6

2(0)+0≤6

0≤6                 (Pernyataan benar)

Sehingga pertidak samaan garis kedua adalah 2x+y≤6

Jawaban dari soal no 5 adalah

·         x+2y≤6

·         x≥2

Itulah contoh soal beserta pembahasan lengkapnya tentang Cara mencari daerah penyelesaian/himpunan penyelesaian Sitem pertidaksamaan linear dua variabel, pada materi program linear untuk matematika kelas XI. Semoga bermanfaat, dan sampai jumpa di artikel berikutnya.

Tweet